Pembuktian :
       $^{a}\!\log{a}=x\Leftrightarrow{a}^{x}=a$ maka $x=1$  (Terbukti)

ii.    $^{a}\!\log{a}^{n}$, dengan $a>0$ dan $a\neq1$

        Pembuktian :
        Perhatikan $^{a}\!\log{b}=c\Leftrightarrow a^{c}=b$, apabila disubstitusikan
        $a^{c}=b$ ke $^{a}\!\log{b}=c$, maka $^{a}\!\log{a}^{c}=c$  (Terbukti) 



iii.   $^{a}\!\log1=0$

        Pembuktian :
        Maka $^{a}\!\log1=^{ a}\!\log{a}^{0}=0$  (Terbukti)


iv.    $^{a}\!\log{b}^{n}=n\cdot^{ a}\!\log{b}$, dengan $a\neq1$ dan $a,b>0$

        Pembuktian :
        Misal $^{a}\!\log{b}=p\Leftrightarrow a^{p}=b$
        Maka $^{a}\!\log{b}^{n}=^{ a}\!\log{a}^{np}$
                               $=np$
                               $=n\cdot^{ a}\!\log{b}$  (Terbukti)



v.    $^{a}\!\log{b}=\frac{\log{b}}{\log{a}}=\frac{^{p}\!\log{b}}{^{p}\!\log{a}}$, dengan $a,p\neq1$ dan $a,b,p>0$

        Pembuktian :
        Misalkan $^{a}\!\log{b}=c\Leftrightarrow b=a^{c}$
        Maka $\frac{^{p}\!\log{b}}{^{p}\!\log{a}}=\frac{^{p}\!\log{a}^{c}}{^{p}\!\log{a}}=c\cdot\frac{^{p}\!\log{a}}{^{p}\!\log{a}}=c=^{ a}\!\log{b}$  (Terbukti)


vi.   $^{a}\log{b}=\frac{1}{^{b}\!\log{a}}$, dengan $a,b\neq1$ dan $a,b>0$
     
        Pembuktian :
        $^{a}\!\log{b}=\frac{^{p}\!\log{b}}{^{p}\!\log{a}}$, jika kita bagi dengan $\frac{^{p}\!\log{b}}{^{p}\!\log{b}}$
        Maka $^{a}\!\log{b}=\frac{1}{\frac{^{p}\!\log{a}}{^{p}\!\log{b}}}=\frac{1}{^{b}\!\log{a}}$  (Terbukti)
        

vii.   $^{a}\!\log{b}+^{a}\!\log{c}=^{ a}\!\log{bc}$, dengan $a\neq1$ dan $a,b,c>0$
       
        Pembuktian :
         Misal $^{a}\!\log{b}=p\Leftrightarrow a^{p}=b$ dan $^{a}\!\log{c}=q\Leftrightarrow a^{q}=c$
         Maka $^{a}\!\log{bc}=^{ a}\!\log{a^{p}a^{q}}$
                                $=^{a}\!\log{a^{p+q}}$
                                $=p+q$
                                $=^{ a}\!\log{b}+^{a}\!\log{c}$   (Terbukti)


viii.   $^{a}\!\log{b}-^{a}\!\log{c}=^{ a}\!\log\frac{b}{c}$, dengan $a\neq1$ dan $a,b,c>0$
   
          Pembuktian :
          Misal $^{a}\!\log{b}=p\Leftrightarrow a^{p}=b$, dan $^{a}\!\log{c}=q\Leftrightarrow a^{q}=c$
          Maka $^{a}\!\log{\frac{b}{c}}=\frac{^{a}\!\log{a}^{p}}{^{a}\!\log{a}^{q}}$
                                $= ^{ a}\!\log{a}^{p-q}$
                                $= p-q$
                                $= ^{a}\!\log{b}-^{a}\!\log{c}$  (Terbukti)


ix.     $^{a}\!\log{b}\cdot ^{b}\!\log{c}= ^{a}\!\log{c}$, dengan $a,b\neq1$ dan $a,b,c>0$


         Pembuktian :
         $^{a}\!\log{b}\cdot ^{b}\!\log{c}= \frac{\log{b}}{\log{a}}\cdot\frac{\log{c}}{\log{b}}$
                             $=\frac{\log{c}}{\log{a}}$
                             $= ^{a}\!\log{c}$  (Terbukti)
   

x.      $^{a^{n}}\!\log{b}^{m}= ^{a}\!\log{b}^{\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}\cdot ^{a}\!\log{b}$, dengan $a\neq1$ dan $a,b>0$
        
         Pembuktian :
             $c= ^{a^{n}}\!\log{b}^{m}$
         $a^{nc}= b^{m}$
           $a^{c}= \sqrt[n]{b^{m}}$
            $a^{c}= b^{\frac{m}{n}}\Leftrightarrow ^{a}\!\log{b}^{\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}\cdot ^{a}\!\log{b}=c$  (Terbukti)


xi.      $a^{a^{n}\!\log{b}^{m}}=b^{\frac{m}{n}}$, dengan $a\neq1$ dan $a,b>0$

          Pembuktian :
          Misalkan $x= ^{a^{n}}\!\log{b}^{m}\Leftrightarrow a^{x}=b^{\frac{m}{n}}$
          $a^{a^{n}\!\log{b}^{m}}=a^{x}$
          $a^{a^{n}\!\log{b}^{m}}=b^{\frac{m}{n}}$  (Terbukti)

Eh kenapa sama pembuktiannya? Because waktu di sekolah sering tuh guru-guru ngasih tugas buat nyari pembuktian-pembuktiannya. Ya jadi bisa tau juga darimana asal-usul lahirnya sifat-sifat itu. Kayak apa aja ya dilahirin :v

Tapi buat sahabat semua yang tidak terlalu memerlukan pembuktiannya, ada ringkasan nih biar lebih mudah menghapal, eh.. bukan menghapal sih, mengingat sifat-sifat dari Logaritma

SIFAT-SIFAT
i.     $^{a}\!\log{a}=1$
ii.    $^{a}\!\log{a}^{n}$= $n$
iii.   $^{a}\!\log1=0$
iv.    $^{a}\!\log{b}^{n}=n\cdot^{ a}\!\log{b}$
v.    $^{a}\!\log{b}=\frac{\log{b}}{\log{a}}=\frac{^{p}\!\log{b}}{^{p}\!\log{a}}$
vi.   $^{a}\log{b}=\frac{1}{^{b}\!\log{a}}$
vii.   $^{a}\!\log{b}+^{a}\!\log{c}=^{ a}\!\log{bc}$
viii.   $^{a}\!\log{b}-^{a}\!\log{c}=^{ a}\!\log\frac{b}{c}$
ix.     $^{a}\!\log{b}\cdot ^{b}\!\log{c}= ^{a}\!\log{c}$