Mathbrain : BARISAN DAN DERET (Aritmatika)
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Haii Sahabat Midbrain... Sudah lama
banget nih mimin engga update. Ya biasa lah banyak hal akhir-akhir ini yang
harus diurus hehe.. Oke deh daripada nanti malah curhat mari kita langsung ke
materi. Cek this out!
BARISAN DAN DERET
1. BARISAN
ARITMATIKA
Barisan Aritmatika adalah bentuk
barisan yang berpola dan setiap suku pada barisannya memiliki beda yang sama.
Pola pada barisan ini memiliki beda
atau selisih yang sama. Contoh barisan aritmatika :
Dari setiap suku pada contoh barisan
diatas bertambah 1.
Untuk rumus suku ke-n adalah
$$U_{n}=a+(n-1)b$$
Untuk a = suku pertama
b = beda/selisih
Rumus tersebut didapat dari :
Jika deret aritmatika dengan
$U_{1}=a$ dan beda $=b$ maka deretnya :
$$a,a+b,a+2b,a+3b,a+4b, ...$$
Maka jika ada n suku akan memiliki
$a+(n-1)b$
Contoh soal :
Diketahui suku ke-5 suatu barisan
aritmatika adalah 20 dan memiliki selisih 4. Tentuan suku ke-2 barisan tersebut
adalah ...
Jawab :
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{5}=a+(5-1)b$
$20=a+(4)4$
$20=a+16$
$a=4$
Maka suku ke-2 :
$a+b$
$=4+4$
$=8$
2. DERET
ARITMATIKA
Deret
aritmatika adalah penjumlahan semua suku-suku barisan aritmatika.
Pola deret aritmatika :
$$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$$
$$S_{n}=a+(a+b)+(a+2b)+...=\left(a+(n-1)b\right)$$
Rumus untuk deret aritmatika :
$$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)$$
$$atau$$
$$S_{n}=\frac{n}{2}\left(a+U_{n}\right)$$
Pembuktian :
$S_{n}=(a)+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(n-1)b)$
$S_{n}=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+...+(a+b)+(a)$
Apabila dijumlahkan
$2S_{n}=(2a+(n-1)b)+ (2a+(n-1)b)+
(2a+(n-1)b)+...$ sebanyak n kali.
$2S_{n}=n(2a+(n-1)b$
$S_{n}=\frac{n}{2}(n-1)b$
Contoh soal :
1. Diketahui
barisan 2, 5, 8, 11, ... . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama
Jawab :
$U_{10}=(a+(n-1)b)$
$=(2+9\cdot 3)$
$=29$
$b=U_{2}-U_{1}$
$=5-2$
$=3$
$S_{4}=\frac{4}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{4}{2}(2\cdot2+3\cdot3)$
$=\frac{4}{2}(4+9)$
$=2(13)$
$=26$
2. Sebuah
barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan $S_{n}=3n^{2}-15n$, maka
$U_{3}$ adalah ...
Jawab :
$$U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$$
$U_{n}=(3n^{2}-15n)-(3(n-1)^{2}-15(n-1))$
$=(3n^{2}-15n)-(3n^{2}-6n+3-15n+15)$
$=3n^{2}-15n-3n^{2}+6n+15n-18$
$=6n-18$
$U_{3}=6(3)-18$
$=18-18$
$=0$
3. SISIPAN PADA BARIS ARITMATIKA
Misalkan setiap dua bilangan
berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan namun tetap
membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki
perubahan dengan suku pertamanya tetap.
Misalkan $b_{B}$= beda barisan baru
dan $b_{L}$= beda barisan lama. Hubungan keduanya adalah
$$b_{B}=\frac{b_{L}}{k+1}$$
Hubungan tersebut didapat dari
$b_{B}=U_{1}, (U_{1}+b), (U_{1}+2b),
..., (U_{1}+kb), U_{2}$
Dimana $(U_{1}+kb)+b=U_{2}$
$=U_{1}+(k+1)b=U_{2}$
$b_{B}=\frac{U_{2}-U_{1}}{k+1}$
$b_{B}=\frac{b_{L}}{k+1}$
Contoh soal :
Pada setiap dua bilangan berurutan
2, 12, 22, 32, ... disisipi 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan baru
Jawab
Beda barisan baru
$b_{B}=\frac{b_{L}}{k+1}=\frac{10}{4+1}=\frac{10}{5}=2$
Suku pertama $a=2$
$U_{100}=a+(100-1)b$
$=2+(99)2$
$=2+198$
$=200$
Jadi suku ke-100 barisan tersebut
(baru) adalah 200.
Soal
1. (SPMB 2004 Regional 1)
Seutas
tali dipotong menjadi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmatika.
Jika tali terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang tali semula adalah...
(A)
800
cm
(B)
825
cm
(C)
850
cm
(D)
875
cm
(E)
900
cm
Pembahasan :
$n=10$
$a=20 cm$
$U_{10}=155$
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$
$S_{10}=\frac{10}{2}(20+155)$
$=5(175)$
$=875$ (JAWABAN D)
2. (SNMPTN 2012 Kode 221)
Jika
suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, $S_{n}$ adalah jumlah
n suku pertama deret terebut. $S_{n+2}-S_{n}=65$, maka nilai n adalah ...
(A)
11
(B)
12
(C)
13
(D)
14
(E)
15
Pembahasan :
$a=-2$
$b=3$
Maka
$S_{n+2}=\frac{n+2}{2}(2a+(n+2-1)b)$
$=\frac{n+2}{2}(2\cdot -2+(n+1)3)$
$=\frac{n+2}{2}(-4+3n+3)$
$=\frac{n+2}{2}(3n-1)$
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{n}{2}(2\cdot
-2)+(n-1)3$
$=\frac{n}{2}(-4+3n-3)$
$=\frac{n}{2}(3n-7)$
Maka :
$S_{n+2}-S_{n}=65$
$\leftrightarrow\frac{n+2}{2}(3n-1)-\left(\frac{n}{2}(3n-7)\right)=65$
$\leftrightarrow\frac{12n-2}{2}=65$
$\leftrightarrow6n-1=65$
$6n=66$
$n=11$ (JAWABAN A)
Nah jadi segitu dulu untuk materi kali ini. Untuk barisan dan deret juga akan dibahas tentang barisan dan deret geometrinya. So sering-sering berkunjung ke blog ini untuk mendapatkan update terbaru.
Bayy!
"Matematika adalah seni peemberian nama yang sama untuk hal yang berbeda"
-Henri Poincare-
0 comments