Mathbrain : EKSPONENSIAL (Perpangkatan dan Bentuk Akar)
Assalamu'alaikum Wr. Wb.
Haii Sahabat Midbrain.. Apa kabar nih? Udah bisa move on belum? Maksudnya move on menjadi diri yang lebih baik ya, bukan dari mantan :v
Haii Sahabat Midbrain.. Apa kabar nih? Udah bisa move on belum? Maksudnya move on menjadi diri yang lebih baik ya, bukan dari mantan :v
Oke pada postingan kali ini akan membahas
mengenai Eksponensial/perpangkatan dan Bentuk Akar. Perpangkatan disini bukan
Jenderal, Komandan, Letnan, dan sebagainya ya bukaan..
Jadi, apa dong? Untuk lebih jelasnya mari
mulai aja :)
EKSPONENSIAL
A. Pangkat Bulat Positif
Apabila ada suatu bilangan a yang merupakan bilangan
real dan n berupa bilangan bulat positif maka bentuk $a^{n}$ (dibaca : a
pangkat n) menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a. Begini
nih lebih jelasnya
dengan,
a = bilangan pokok atau basis
n = pangkat atau eksponen
Dari penjelasan tersebut maka akan berlaku
rumus-rumus
$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, m>n$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$(a\times b)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left (\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}},
b\neq 0$
Contoh :
$\left (4a^{3}\right)^{2}$ :
$2a^{2}=...$
Pembahasan :
$\left (4a^{3}\right)^{2}$ :
$2a^{2}$$=\frac{\left (2^{2}a^{3}\right)^{2}}{2a^{2}}$
$=\frac{2^{4}a^{6}}{2a^{2}}$
$=2^{4-1}a^{6-2}$
$=2^{3}a^{4}$
$=8a^{4}$
B. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
Perhatikan bentuk
$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ pada rumus sebelumnya.
Jika diambil m=n maka akan diperoleh
$\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}$
$1=a^{0}$
Jadi untuk bilangan berapapun jika
dipangkatkan nol maka hasilnya adalah 1. Kecuali untuk $a=0$ bentuknya menjadi
$0^{0}$ (tidak terdefinisi). $$a^{0}=1, a\neq 0$$
Jika diambil m=0 maka
$\frac{a^{0}}{a^{n}}=a^{0-n}$
$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}$
Jadi untuk setiap a dipangkatkan negatif n
maka hasilnya adalah satu per a pangkat n. $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},
a\neq 0$$
Contoh :
Bentuk $p^{-3}\times q^{2}\times r^{-5}$ dapat
ditulis tanpa pangkat negatif menjadi...
Pembahasan :
$p^{-3}\times q^{2}\times
r^{-5}$$=\frac{1}{p^{3}}\times q^{2}\times\frac{1}{r^{5}}$
$=\frac{q^{2}}{p^{3}r^{5}}$
C. Pangkat Rasional
Bilangan pangkat rasional
adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan
ketentuan m,n bilangan bulat dan $n\neq 0$. Sederhananya gini, bilangan pangkat
rasional itu adalah bilangan yang berpangkatkan pecahan.
$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$
$=\sqrt [n]{a^{m}}$
Secara umum pangkat rasional itu ditulis
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^{m}}$$
dengan $a\in\mathbb{R}$ serta m,n bilangat
bulat positif.
Berdasarkan rumus-rumus tersebut maka bentuk $a^{-\frac{m}{n}}$ juga dapat diartikan sebagai
$a^{-\frac{m}{n}}=$
$\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$
$=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$
Maka dapat dituliskan
$$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{m}}$$
Contoh :
Bentuk
$\left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{-3}}{a^{-1}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}$
dapat disederhanakan menjadi ...
Pembahasan :
$\left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{-3}}{a^{-1}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}$ $=\left(a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{1}\cdot b^{-3}\cdot
b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
$=\left(a^{\frac{1}{2}+1}\cdot b^{-3+\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
$= a^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}}b^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}}$
$=a^{1}b^{-1}$
$=\frac{a}{b}$
BENTUK AKAR
Nah selanjutnya adalah
bentuk akar, kenapa sih disatuin ama Eksponensial? Ya karena bentuk akar itu
merupakan perpangkatan juga, namun perpangkatan pecahan seperti yang udah
dibahas sebelumnya.
Bilangan irrasional
adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dan ditulis dalam bentuk
$\frac{p}{q}$, dengan ketentuan p, q adalah bilangan bulat dan $q\neq 0$
Bilangan-bilangan seperti
$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{12},\sqrt[3]{4}$ termasuk irrasional, karena hasil
dari akar-akar bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.
Bilangan-bilangan seperti itu disebut bentuk akar.
Jadi, Bentuk akar adalah akar-akar dari
suatu bilangan real positif yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.
Perhatikan
$\sqrt{4},\sqrt{16},\sqrt{2,25},\sqrt[4]{81}$
Apakah bilangan-bilangan tersebut termasuk
bentuk akar? Jawabannya bukan, karena hasilnya merupakan bilangan rasional.
$\sqrt{4}=2$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{2,25}=1,5$
$\sqrt[4]{81}=3$
SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk a,b bilangan bulat positif
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}$$
Penjumlahan dan pengurangan
Untuk $a,b\in\mathbb{R}$ dan c adalah
bilangan rasional non negatif
$$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$$
Perkalian
Untuk a,b bilangan rasional non negatif
$$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
Pembagian
Untuk a,b bilangan rasional non negatif
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Sifat-Sifat lainnya
a. $\sqrt{c}\times\sqrt{c}=c$
b. $a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=ab\sqrt{cd}$
c. $\left(\sqrt{c}\pm \sqrt{d}\right)^{2}=(c+d)\pm
2\sqrt{cd}$
d.
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Merasionalkan Penyebut Pecahan
Maksudnya menjadikan penyebut pecahan yang
tadinya berbentuk akar menjadi bilangan rasional. Dan untuk merasionalkan ini
adalah dengan mengalikannya dengan bilangan sekawan.
a.
$\frac{a}{\sqrt{b}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}}$$\times\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$
b.
$\frac{a}{b-\sqrt{c}}$$=\frac{a}{b-\sqrt{c}}\times\frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{a(b+\sqrt{c})}{b^{2}-c}$
c. $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$$=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times\frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}$$=\frac{a(b-\sqrt{c})}{b^{2}-c}$
d. $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{b-c}$
e.
$\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$=\frac{a\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{b-c}$
Contoh :
$\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}=...$
Pembahasan :
$\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}$$=\sqrt{25\times
3}+2\sqrt{4\times 3}-\sqrt{9\times 3}$
$=5\sqrt{3}+2\cdot
2\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=(5+4-3)\sqrt{3}$
$=6\sqrt{3}$
CONTOH SOAL
1. (UM UGM 2004)
$\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1}=...$
(A) $21\sqrt{5}$
(B) $19$
(C) $8\sqrt{5}$
(D) $15$
(E) $5\sqrt{5}$
Pembahasan :
Kalikan dengan bilangan sekawannya
$\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1}$$\times
\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$
$=\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{5-1}$
$=\frac{(18\sqrt{5}+9+10+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{4}$
$=\frac{18\cdot
5+5+19\sqrt{5}-18\sqrt{5}-\sqrt{5}-19}{4}$
$=\frac{18\cdot 5-14}{4}$
$=\frac{9\cdot 5-7}{4}$
$=\frac{45-7}{2}=19$ (JAWABAN
B)
2. (SPMB 2006 Kode 310)
Dalam bentuk akar
$\frac{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}{p^{\frac{7}{2}}+q^{-\frac{3}{4}}}=...$
(A) $\sqrt{p^{7}}-\frac{1}{\sqrt[4]{q^{3}}}$
(B)
$\sqrt[3]{p}-\sqrt[4]{q^{3}}$
(C) $p^{2}-\frac{1}{\sqrt[4]{q^{3}}}$
(D) $p^{2}-\sqrt[4]{q^{3}}$
(E)
$\sqrt{p^{3}}-\frac{1}{\sqrt{q^{3}}}$
Pembahasan :
$\frac{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}{p^{\frac{7}{2}}+q^{-\frac{3}{4}}}\times\frac{p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}}{p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}}$
$=\frac{\left(p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}\right)\left(p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}\right)}{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}$
$=p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}$
$=p^{7}-\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ (JAWABAN
A)
3. (SPMB 2004 Regional I)
Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan
bentuk akar, $\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$
(A) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy}$
(B)
$\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{xy}$
(C)
$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{xy}$
(D) $xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$
(E)
$xy\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$
Pembahasan :
$\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\times\frac{xy}{xy}$
$=\frac{y-x}{x^{\frac{3}{2}}y+xy^{\frac{3}{2}}}$
$=\frac{\left(\sqrt{y}\right)^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{xy\sqrt{x}+xy\sqrt{y}}$
$=\frac{\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}{xy\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}$
$=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{xy}$ (JAWABAN
B)
4. (SNMPTN 2008 Kode 301)
Dalam bentuk pangkat rasional
$\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\sqrt{x^{3}}}}=...$
(A) $x^{13/30}$
(B) $x^{31/30}$
(C) $x^{13/10}$
(D) $x^{31/10}$
(E) $x^{39/10}$
Pembahasan :
$\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\sqrt{x^{3}}}}=$$\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\left(x\right)^{\frac{3}{2}}}}$
$=\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{\frac{9}{2}}}}$
$=\sqrt[3]{x^{3}\left(x\right)^{\frac{9}{10}}}$
$=\sqrt[3]{x^{\frac{39}{10}}}$
$=x^{\frac{39}{10\cdot
3}}$
$=x^{\frac{13}{10}}$
(JAWABAN C)
5. (UM UGM 2016 Kode 571)
Bentuk
$\sqrt{\frac{8}{15}-2\sqrt{\frac{1}{15}}}=...$
(A)
$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$
(B) $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$
(C) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(D)
$\sqrt{\frac{5}{3}}-\sqrt{\frac{3}{5}}$
(E) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Pembahasan :
Ingat sifat
$\left(\sqrt{c}\pm\sqrt{d}\right)^{2}=(c+d)\pm2\sqrt{cd}$
Maka
$\sqrt{\frac{8}{15}-2\sqrt{\frac{1}{15}}}$
$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^{2}-2\sqrt{\frac{1}{15}}+\left(\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}$
$=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$
(JAWABAN B)
Nah, segitu dulu untuk
kali ini. Materi ini akan dilanjutkan di bagian dua nanti yang membahas
persamaan eksponensial dan fungsi eksponensial. Dan tentunya latihan-latihan
soal + pembahasannya yang semoga bisa membantu sahabat semuanya.
Jangan pernah menyerah dan
terus berusaha untuk mewujudkan mimpi kalian. Buat apa menggantung cita-cita
setinggi langit kalau tidak berusaha untuk menggapainya kan? Btw digantung itu
ga enak ya ehem...
Oke see you^^
Wassalamu'alaikum Wr. Wb.
"Matematika adalah ilmu termurah. Berbeda dengan kimia atau fisika, tidak memerlukan peralatan mahal. Semua yang dibutuhkan untuk matematika adalah pensil dan kertas." George Polya
0 comments