Mathbrain : EKSPONENSIAL (Perpangkatan dan Bentuk Akar)

by - January 19, 2019




Assalamu'alaikum Wr. Wb.

Haii Sahabat Midbrain.. Apa kabar nih? Udah bisa move on belum? Maksudnya move on menjadi diri yang lebih baik ya, bukan dari mantan :v

Oke pada postingan kali ini akan membahas mengenai Eksponensial/perpangkatan dan Bentuk Akar. Perpangkatan disini bukan Jenderal, Komandan, Letnan, dan sebagainya ya bukaan..
Jadi, apa dong? Untuk lebih jelasnya mari mulai aja :)

EKSPONENSIAL
A. Pangkat Bulat Positif
     Apabila ada suatu bilangan a yang merupakan bilangan real dan n berupa bilangan bulat positif maka bentuk $a^{n}$ (dibaca : a pangkat n) menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a. Begini nih lebih jelasnya
dengan, 
a = bilangan pokok atau basis 
n = pangkat atau eksponen
Dari penjelasan tersebut maka akan berlaku rumus-rumus

  $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ 

  $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, m>n$

  $(a^{m})^{n}=a^{mn}$

  $(a\times b)^{n}=a^{n}b^{n}$

  $\left (\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}, b\neq 0$

Contoh :
$\left (4a^{3}\right)^{2}$ : $2a^{2}=...$ 

Pembahasan :
$\left (4a^{3}\right)^{2}$ : $2a^{2}$$=\frac{\left (2^{2}a^{3}\right)^{2}}{2a^{2}}$

                     $=\frac{2^{4}a^{6}}{2a^{2}}$

                     $=2^{4-1}a^{6-2}$

                     $=2^{3}a^{4}$

                     $=8a^{4}$ 

B. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
     Perhatikan bentuk $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ pada rumus sebelumnya. 
Jika diambil m=n maka akan diperoleh
$\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}$
$1=a^{0}$
Jadi untuk bilangan berapapun jika dipangkatkan nol maka hasilnya adalah 1. Kecuali untuk $a=0$ bentuknya menjadi $0^{0}$ (tidak terdefinisi). $$a^{0}=1,  a\neq 0$$
Jika diambil m=0 maka
$\frac{a^{0}}{a^{n}}=a^{0-n}$
$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}$
Jadi untuk setiap a dipangkatkan negatif n maka hasilnya adalah satu per a pangkat n. $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},  a\neq 0$$ 
  
Contoh :
Bentuk $p^{-3}\times q^{2}\times r^{-5}$ dapat ditulis tanpa pangkat negatif menjadi...

Pembahasan :
$p^{-3}\times q^{2}\times r^{-5}$$=\frac{1}{p^{3}}\times q^{2}\times\frac{1}{r^{5}}$

                          $=\frac{q^{2}}{p^{3}r^{5}}$ 

C. Pangkat Rasional
     Bilangan pangkat rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan ketentuan m,n bilangan bulat dan $n\neq 0$. Sederhananya gini, bilangan pangkat rasional itu adalah bilangan yang berpangkatkan pecahan.
$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$

        $=\sqrt [n]{a^{m}}$
Secara umum pangkat rasional itu ditulis $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^{m}}$$
dengan $a\in\mathbb{R}$ serta m,n bilangat bulat positif.

Berdasarkan rumus-rumus tersebut maka bentuk $a^{-\frac{m}{n}}$ juga dapat diartikan sebagai
$a^{-\frac{m}{n}}=$ $\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$
         $=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$
Maka dapat dituliskan $$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{m}}$$

Contoh : 
Bentuk $\left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{-3}}{a^{-1}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}$ dapat disederhanakan menjadi ...

Pembahasan :
$\left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{-3}}{a^{-1}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}$ $=\left(a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{1}\cdot b^{-3}\cdot b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

                      $=\left(a^{\frac{1}{2}+1}\cdot b^{-3+\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

                      $= a^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}}b^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}}$
 
                      $=a^{1}b^{-1}$

                      $=\frac{a}{b}$

BENTUK AKAR
     Nah selanjutnya adalah bentuk akar, kenapa sih disatuin ama Eksponensial? Ya karena bentuk akar itu merupakan perpangkatan juga, namun perpangkatan pecahan seperti yang udah dibahas sebelumnya.
     Bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dan ditulis dalam bentuk $\frac{p}{q}$, dengan ketentuan p, q adalah bilangan bulat dan $q\neq 0$
     Bilangan-bilangan seperti $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{12},\sqrt[3]{4}$ termasuk irrasional, karena hasil dari akar-akar bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional. Bilangan-bilangan seperti itu disebut bentuk akar.
Jadi, Bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan real positif yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.
Perhatikan
$\sqrt{4},\sqrt{16},\sqrt{2,25},\sqrt[4]{81}$
Apakah bilangan-bilangan tersebut termasuk bentuk akar? Jawabannya bukan, karena hasilnya merupakan bilangan rasional.
$\sqrt{4}=2$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{2,25}=1,5$
$\sqrt[4]{81}=3$

SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk a,b bilangan bulat positif
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}$$
Penjumlahan dan pengurangan
Untuk $a,b\in\mathbb{R}$ dan c adalah bilangan rasional non negatif
$$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$$
Perkalian
Untuk a,b bilangan rasional non negatif
$$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
Pembagian
Untuk a,b bilangan rasional non negatif
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Sifat-Sifat lainnya
a. $\sqrt{c}\times\sqrt{c}=c$

b. $a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=ab\sqrt{cd}$

c. $\left(\sqrt{c}\pm \sqrt{d}\right)^{2}=(c+d)\pm 2\sqrt{cd}$

d. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Merasionalkan Penyebut Pecahan
Maksudnya menjadikan penyebut pecahan yang tadinya berbentuk akar menjadi bilangan rasional. Dan untuk merasionalkan ini adalah dengan mengalikannya dengan bilangan sekawan.
a. $\frac{a}{\sqrt{b}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}}$$\times\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$

b. $\frac{a}{b-\sqrt{c}}$$=\frac{a}{b-\sqrt{c}}\times\frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{a(b+\sqrt{c})}{b^{2}-c}$

c. $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$$=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times\frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}$$=\frac{a(b-\sqrt{c})}{b^{2}-c}$

d. $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{b-c}$

e. $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$$=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$=\frac{a\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{b-c}$

Contoh :
$\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}=...$

Pembahasan :
$\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}$$=\sqrt{25\times 3}+2\sqrt{4\times 3}-\sqrt{9\times 3}$

                                    $=5\sqrt{3}+2\cdot 2\sqrt{3}-3\sqrt{3}$

                                    $=(5+4-3)\sqrt{3}$

                                    $=6\sqrt{3}$ 

CONTOH SOAL
1. (UM UGM 2004)
    $\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1}=...$

    (A) $21\sqrt{5}$

    (B) $19$

    (C) $8\sqrt{5}$

    (D) $15$

    (E) $5\sqrt{5}$

Pembahasan :
Kalikan dengan bilangan sekawannya
$\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1}$$\times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$

$=\frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{5-1}$

$=\frac{(18\sqrt{5}+9+10+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{4}$

$=\frac{18\cdot 5+5+19\sqrt{5}-18\sqrt{5}-\sqrt{5}-19}{4}$

$=\frac{18\cdot 5-14}{4}$

$=\frac{9\cdot 5-7}{4}$

$=\frac{45-7}{2}=19$    (JAWABAN B)

2. (SPMB 2006 Kode 310)
    Dalam bentuk akar $\frac{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}{p^{\frac{7}{2}}+q^{-\frac{3}{4}}}=...$

    (A) $\sqrt{p^{7}}-\frac{1}{\sqrt[4]{q^{3}}}$

    (B) $\sqrt[3]{p}-\sqrt[4]{q^{3}}$

    (C) $p^{2}-\frac{1}{\sqrt[4]{q^{3}}}$

    (D) $p^{2}-\sqrt[4]{q^{3}}$

    (E) $\sqrt{p^{3}}-\frac{1}{\sqrt{q^{3}}}$

Pembahasan : 
$\frac{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}{p^{\frac{7}{2}}+q^{-\frac{3}{4}}}\times\frac{p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}}{p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}}$

$=\frac{\left(p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}\right)\left(p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}\right)}{p^{7}-q^{-\frac{3}{2}}}$

$=p^{\frac{7}{2}}-q^{-\frac{3}{4}}$

$=p^{7}-\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$    (JAWABAN A)

3. (SPMB 2004 Regional I)
    Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar, $\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$

    (A) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy}$

    (B) $\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{xy}$

    (C) $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{xy}$

    (D) $xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$

    (E) $xy\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$

Pembahasan :
$\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\times\frac{xy}{xy}$

$=\frac{y-x}{x^{\frac{3}{2}}y+xy^{\frac{3}{2}}}$

$=\frac{\left(\sqrt{y}\right)^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{xy\sqrt{x}+xy\sqrt{y}}$ 

$=\frac{\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}{xy\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}$

$=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{xy}$    (JAWABAN B)
  
4. (SNMPTN 2008 Kode 301)    
    Dalam bentuk pangkat rasional $\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\sqrt{x^{3}}}}=...$

    (A) $x^{13/30}$

    (B) $x^{31/30}$

    (C) $x^{13/10}$

    (D) $x^{31/10}$

    (E) $x^{39/10}$

Pembahasan :
$\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\sqrt{x^{3}}}}=$$\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{3}\left(x\right)^{\frac{3}{2}}}}$

                          $=\sqrt[3]{x^{3}\sqrt[5]{x^{\frac{9}{2}}}}$

                          $=\sqrt[3]{x^{3}\left(x\right)^{\frac{9}{10}}}$

                          $=\sqrt[3]{x^{\frac{39}{10}}}$

                          $=x^{\frac{39}{10\cdot 3}}$

                          $=x^{\frac{13}{10}}$    (JAWABAN C)
  
5. (UM UGM 2016 Kode 571)
    Bentuk $\sqrt{\frac{8}{15}-2\sqrt{\frac{1}{15}}}=...$

   (A) $\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$

   (B) $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$

   (C) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$

   (D) $\sqrt{\frac{5}{3}}-\sqrt{\frac{3}{5}}$

   (E) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Pembahasan :
Ingat sifat     $\left(\sqrt{c}\pm\sqrt{d}\right)^{2}=(c+d)\pm2\sqrt{cd}$
Maka
$\sqrt{\frac{8}{15}-2\sqrt{\frac{1}{15}}}$

$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^{2}-2\sqrt{\frac{1}{15}}+\left(\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}$    (JAWABAN B)
 
 
    Nah, segitu dulu untuk kali ini. Materi ini akan dilanjutkan di bagian dua nanti yang membahas persamaan eksponensial dan fungsi eksponensial. Dan tentunya latihan-latihan soal + pembahasannya yang semoga bisa membantu sahabat semuanya. 
    Jangan pernah menyerah dan terus berusaha untuk mewujudkan mimpi kalian. Buat apa menggantung cita-cita setinggi langit kalau tidak berusaha untuk menggapainya kan? Btw digantung itu ga enak ya ehem...
Oke see you^^
Wassalamu'alaikum Wr. Wb.



"Matematika adalah ilmu termurah. Berbeda dengan kimia atau fisika, tidak memerlukan peralatan mahal. Semua yang dibutuhkan untuk matematika adalah pensil dan kertas."                                                                                                                                                                                     George Polya 

You May Also Like

0 comments